Divisibilidad

Definición:
Un número a se puede dividir por otro número b (o también, a es divisible por b), cuando con el número de unidades que indique el número a se puedan hacer tantos números como indique el número b, teniendo todos estos grupos el mismo número de unidades.

Divisores de un número:
Un número a es divisor de otro número b, cuando el resto de dividir b entre a es cero, en otras palabras, cuando la división de b entre a es exacta.

Múltiplos de un número:
Un número b es múltiplo de otro número a, cuando el resto de dividir b entre a es cero, en otras palabras, cuando la división de b entre a es exacta.

Criterios de divisibilidad:
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:
Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par.
Ejemplos: Números divisibles por 2: 36,94,521342,40,...
Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos: Números divisibles por 3: 36,2142,42,...
Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0.
Ejemplos: Números divisibles por 5: 35,2145,40,...
Criterio de divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Ejemplos: Números divisibles por 9: 495,945,53640,...
Criterio de divisibilidad por 11 Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.
Ejemplos: Múltiplos de 11: 2343649,9889,18161902,...

Descomposición de un número en factores primos:
Los números enteros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. La descomposición de un número es muy útil pues ayuda a poder calcular el máximo común divisor o mínimo común múltiplo de varios números.

MCD y MCM:
Una parte inportante de la divisibilidad es la que corresponde al Máximo Común Divisor y al Mínimo Común Múltiplo.

Definición Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos números, es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Ejemplo: Divisores de 12 = {1,2,3,4,6,12} Divisores de 18 = {1,2,3,6,9,18} Divisores comunes son: {1,2,3,6}, luego M.C.D.(12,18) = 6
Definición Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de dos números, es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.

Ejemplo: Múltiplos de 12 = {12,24,36,48,60,72,84,96,108,120, ...} Múltiplos de 18 = {18,36,58,72,90,108,126,144,162, ...} Múltiplos comunes son: {36,72,108, ...}, luego M.C.M.(12,18)=36

Propiedad Si observamos, podemos comprobar que se cumple: a·b = M.C.D.(a,b)·M.C.M.(a,b)

Problemas:
Primer problema Un coche necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y las bujías cada 30.000 km. ¿ A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez? Solución El coche realizará los siguientes cambios: De aceite: {9.000 Km., 18.000 Km., 27.000 Km, ...} Del filtro: {15.000 Km., 30.000 Km., 45.000 Km., ...} De bujías: {30.000 Km., 60.000 Km., 90.000 Km., ...} Comonpodemos comprobar los cambios se efectúan en múltiplos de 9.000, 15.000 y 30.000, como estamos buscando cuando se realizarán los tres cambios a la vez, estamos buscando un múltiplo común. Dado que también nos piden que el número buscado sea lo más pequeño posible, estamos buscando el M.C.M.(9.000,15.000,30.000)=90.000 Luego se realizarán los tres cambios simultáneamente por primera vez a los 90.000 Km.
Segundo problema Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja. Solución El comerciante puede poner las manzanas en cajas de 2 unidades, de 4 unidades, de 31 unidades, etc., en definitiva puede agruparlas en cajas que contengan cualquier divisor de 12.028. Igualmente ocurre con la naranjas, cajas de 2 unidades, de 4 unidades, etc, todos los divisores de 12.772. Puesto que el número de una caja de naranjas debe ser el mismo que el de una caja de manzanas, estamos buscando un divisor común, que además se nos pide que sea el mayor posible, este número es el M.C.D.(12.028,12.772)=124 Luego las cajas deben contener 124 unidades de naranjas o 124 unidades de nanzanas.